导数理论与日常生活的关系

一、引言 
  隨着经济的发展和社会的进步,受教育的人越来越多,大学教育也逐渐普及,这为高等数学走入社会、走入人民的生活中奠定了扎实的根基。高等数学的知识是从生活实践中总结出来的,并由数学家发扬光大,挖掘其中的内涵,但是随着数学的发展,知识越来越深入,一般的群众难以掌握这些知识,但是在国家大力倡导的基础上,数学知识还是越来越普及,其中就包括导数这样来源于生活又高于生活的内容,学好导数,可以对生产实践进行有效的指导,对于天文学家、物理学家、数学家来说,导数是基础,对于生产实践管理者和经济学家来说,导数是帮助他们分析问题、做决策的有效工具。比如说,对于工厂的生产部门,必须在成本用料和利润之间找到一个最佳的平衡点,这就涉及到如何安排生产任务才能达到“用料最省”“利润最大”的问题,这类问题时数学中的最值问题,由此可见,数学可以促进生产技术和自然科学的发展,值得深入学习。我国著名数学家华罗庚,就曾经倡导数学应用到生产实践中,他用了多年的努力,在祖国各地推广数学,使得数学这一工具被基层工程师和工人掌握,对我国数学事业的发展起到了不可磨灭的贡献。本文探讨的是导数在实际生活中的应用,将这一知识点与生产实践相结合,以便更好地指导生产实践和经济运行。 
  二、导数的基本概念 
  导数是高等数学中的重要知识,是微积分学的基石,由牛顿和莱布尼兹提出,导数和微积分的出现时数学史上里程碑的事件,为数学翻开了崭新的一页,使得数学脱离的基本数学的范畴,并为牛顿力学、爱因斯坦相对论、量子力学等划时代物理学的发展奠定了基础,可以说,没有导数和微积分的出现,就没有现在的世界。导数是从生产实践和科学问题中推导出来的,反映的是一个变量对另一个变量的变化率,设自变量为x,当有增量Δx时,函数y增量Δy也会有变化,当Δx趋于0时,Δy和Δx的比值还存在,则定义为此函数y可导,导数记为f'(x0),公式如下: 
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  三、导数在生活中的应用 
  例1:如图1所示,正方形铁片的边长为60cm,要把它做成一个没有盖的箱子,则需要在正方形的四个角各切去一个正方形,再进行折叠,为了让箱子的容积最大,问箱底的边长应该是多少?此时的最大容积是多少? 
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  图1 正方形铁片 
  解:设正方形铁片在切掉四角四个正方形后,箱底边长为x,单位为cm,由图可知,箱子的高度h=60-x2,单位为cm,计算箱子的容积,公式如下: 
  V(x)=x2h=(60x2-x3)/2 
  (0  对箱子的容积进行求导,可知 
  V’(x)=60x-3x2 
  (0  求最大值,即容积的导数为0,则有 
  V’(x)=60x-3x2=0 
  计算结果如下:x=0或者x=40 
  由于x的取值范围为(0  所以取x=40为有效值。 
  带入容积计算公式,可知, 
  V(40)=16000 
  由题意,当x接近范围值得边界,即0和60时,箱子的容积不是最大,反而很小,因此可知,x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm。 
  例2:某公司有100吨的酒存储量,现在一斤4元,明年一斤5元,每年每斤增加1元,库存费每年1万。同时导致资金积压,成本年增加105p·r,r=10%,是利息率为了使得公司利益最大,需要储存多久? 
  分析:假设储存X年 
  收入如下 
  R(x)=2×105x(元) 
  成本如下 
  C(x)=90000x+20000x2(元) 
  利润如下 
  L(x)=R(x)-C(x) 
  =110000x-20000x2(元) 
  边际收入等于收入函数求导,结果为: 
  R(x)’=2×105 
  边际成本等于成本函数求导,结果为: 
  C(x)’=90000+40000x 
  为了使得利润最大,R(x)’=C(x)’,计算结果为x=2.75,因此可知,储存2.75年,经济效益最大。 
  本题计算的额是经济问题,经济问题非常复杂,要想透过表面的数据看本质,必须采用数学的方法对经济变量进行定量的分析。现代经济学家面对的是范围经济,简单的四则运算和初等函数不足以分析范围经济内的诸多经济问题,因此,采用微积分和导数的方法来分析现代经济问题,这样不仅可以计算出精确的数据,而且可以用导数的方法演绎出经济变量的变化趋势,运用数学的方法归纳出经济的走向,从而为决策层提供提供科学的预测和决策思路。例2就是导数在经济学中的应用,为边际问题的分析。现在企业分析经营活动的出发点侧重成本与利润的直接比较,是简单的加减运算,并不科学,本文认为应该用导数的方法,计算经济变量的变化趋势在考虑绝对数分析的基础上,研究经济变量的相对变化率,才能做到把握现实,看准未来。 
  四、总结 
  日常生活中,导数作为一种工具,可以很好地应用,在经济学中,导数也被不断拓展应用广度和应用深度,随着社会的的进一步发展,越来越多的人接受高等教育,导数进入社会将成为一个事实。导数将不仅仅应用于成本分析、利润分析、优化分析中,还会在其他经济问题上有更深入的应用。 
  参考文献 
  [1]丁瑶.导数的经济意义及教学探讨[J].重庆电子工程职业学院.2010.07.149-150. 
  [2]王晓燕.导数的经济意义及在经济分析中的应用[J].黔南民族师范学院.2009.06.154-155. 
  [3]高等职业教育文化基础课书.数学[M].苏州大学出版社. 
  [4]普通高中课程标准实验书[M].北京师范大学出版社.
浏览次数:  更新时间:2017-12-16 09:27:12
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