例谈圆锥曲线中的定点问题

例谈圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题是近几年高考中的热点,题型变化多端,灵活新颖.现举例说明圆锥曲线中定点问题的解题策略。
已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,焦点到渐近线的距离为.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过双曲线C的右焦点F作直线与双曲线左,右两支分别交于点A,B,点B在直线x=上的射影是D,求证直线AD过定点.
 (Ⅰ)双曲线方程为x2-=1(过程略)
解法一(设直线):(Ⅱ)显然直线AB的斜率存在,设方程为y=k(x-2),代入方程3x2-y2=3,消y得
(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0  ,D=36(k2+1)>0恒成立.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(,y2),x1+x2=,
x1x2=,  ① 设直线AD与x轴交于点M(t,0),只要证明t为常数即可.
由A、M、D三点共线,kMA=kMD,=,解得2t=,将y1=k(x1-2),y2=k(x2-2)代入,2t==,②
由求根公式,x1=,x2=,及①代入②化简得,2t=,所以直线AD恒过定点M(,0).
解法一其思路很自然. 亮点在于,根据双曲线C关于x轴对称,预设定点在x轴上,即D(t,0). 先将t表示为x1,y1,x2,y2的关系式;再消y1,y2转化为关于x1,x2的关系式;最后再消x1,x2转化为关于k的关系式,化简得结果. 体现了化归与转化的思想. 避免了复杂思路:将AD的方程设为y-y2=(x-),变形得形如方程y-y0=f(k)(x-x0),从而直线AD过定点(x0,y0).
解法二(设而不求):要证2t==为常数,即2x1x2-5x1+2可化为c(x2-x1) (c为常数),可借助韦达定理, 即①式,将k作为桥梁,将二次式x1x2化为一次式x1+x2:x1x2+1=,得x1x2+1=(x1+x2),代入②,
2t==,直线AD恒过定点M(,0).
解法二,体现了整体消参的思想,计算过程明显简单.
事实上,直线x=正巧是双曲线右准线,可以作如下推广:
结论1. 过双曲线=1 (a>0,b>0)右焦点F(c,0)作直线与双曲线左、右两支分别交于A、B两点,点B在直线x=上的射影为D,则直线AD必过定点.
证明过程略,直线AD通过定点M(,0).
类比双曲线,可得椭圆与抛物线相关结论:
结论2. 过椭圆=1 (a>b>0)右焦点F(c,0)作直线与椭圆交于A、B两点,点B在直线x=上的射影为D,则直线AD必过定点.
结论3. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点B在抛物线准线上的射影为D,则直线AD必过抛物线顶点(定点) (证明略).
几种圆锥曲线概念具有共生性,性质也有统一性, 通过举一反三还可发现更多结论,如以上变式等.
 
 
浏览次数:  更新时间:2015-05-06 10:04:00
上一篇:高中数学论文:改进高中数学概念教学的对策及建议
下一篇:最后一页
网友评论《例谈圆锥曲线中的定点问题》
相关论文
Top